Георгий Щенников родился 27 апреля 1991 года в городе Москва. Воспитанник московского клуба ЦСКА. Первый тренер - Н. С. Коновалов. По окончании ДЮСШ ПФК ЦСКА в 2007 году, был приглашён в дубль команды. В сезоне 2008 года провёл за молодёжный состав армейцев 23 матча.
За основной состав ЦСКА дебютировал 6 августа 2008 года в матче 1/16 Кубка России против владимирского «Торпедо». 24 октября того же года дебютировал в Кубке УЕФА, выйдя на замену на 86-й минуте игры с испанским «Депортиво». 18 февраля 2009 года полностью провёл матч против «Астон Виллы» в этом же турнире. 7 марта 2009 года Георгий вместе с ЦСКА завоевал свой первый трофей - Суперкубок России.
У Щенникова случился рецидив полученной в мае того же года травмы голеностопа 6 июня 2011 года; в результате Георгий вернулся в строй лишь в конце октября.
В игре 1/4 Кубка России против грозненского «Терека» 27 марта 2014 года Георгий Щенников записал на свой счет решающий мяч на 111-й минуте игры - это первый гол защитника в составе красно-синих.
Участник Чемпионата Европы по футболу среди молодёжных команд 2013 года.
Дебютировал в составе национальной сборной России 15 августа 2012 года под руководством нового главного тренера Фабио Капелло против сборной Кот-д’Ивуара. Был включён в окончательный состав сборной России на чемпионат мира в Бразилии 2 июня 2014 года . В Бразилии на поле не выходил.
Вошёл в заявку сборной России на Чемпионат Европы 2016.
Вышел в стартовом составе сборной 11 июня на матч против Англии. На 72-й минуте игры в спорном эпизоде был наказан жёлтой карточкой и штрафным ударом, после которого англичане забили гол. На последних минутах игры отдал голевой пас на Василия Березуцкого. Матч завершился со счётом 1:1.
