Александр Румянцев родился 5 декабря 1986 года в городе Архангельск. Конькобежным спортом начал заниматься в 11 лет В Архангельской областной организации «Динамо». В 16 лет принял участие в школьной Спартакиаде. Тренируется под руководством Татьяны Сютковской и Владимира Сютковского. Представляет Архангельскую область.

     В сезоне 2007/2008 года начинающий спортсмен выступил на Кубке Мира. Позднее участвовал в Чемпионате Мира в классическом многоборье, заняв 22 место; Чемпионате Европы в классическом многоборье, став двадцатым.

     Спортсмен завоевал серебряную медаль Чемпионата России в декабре 2009 года на дистанции 5000 метров, марте и декабре 2009 года на 10000 метров, бронзу на 10000 метров и в командной гонке. Является Бронзовым призёром Чемпионата России в классическом многоборье.

     На XXI Олимпийских зимних играх в Канадском городе Ванкувер выступил на дистанциях 5000 и 10000 метров. В забеге на 5000 метров при переходе дорожки помешал своему сопернику по забегу, Славомиру Хмуре, за что конькобежца дисквалифицировали. На дистанции 10000 метров финишировал тринадцатым.

     В октябре 2012 года на Чемпионате России по отдельным дистанциям завоевал три серебра: на дистанциях 5000, 10000 метров и в командной гонке за сборную Архангельской области. Позднее победителя на дистанции 10000 метров, Сергея Лисина дисквалифицировали, что позволило Александру второй раз стать Чемпионом России.

     На Чемпионате России в декабре 2013 года по отдельным дистанциям завоевал золото на дистанциях 10000 метров и серебро на дистанциях 5000 метров. На шестом этапе Кубка Мира в сезоне 2013/2014 года занял третье место.

     Решением Международного олимпийского комитета за нарушение антидопинговых правил аннулированы все результаты Александра с Олимпийских игр 2014 года в городе Сочи и пожизненно отстранен от участия в Олимпийских играх 24 ноября 2017 года. 

     Серебряными призерами в мужской гонке преследования Чемпионата Европы стал в составе сборной России вместе с Сергеем Грязцовым, Данилой Семериковым и Данилой Синициным, с результатом 3 минуты 44,59 секунды. В общекомандном зачете россияне заняли второе место.